Question

（2012•廣元三模）在一次運動會中，某小組內的甲、乙、丙三名選手進行單循環賽（即每兩人比賽一場）共賽三場，每場比賽勝者得1分，輸者得0分，、沒有平局；在參與的每一場比賽中，甲勝乙的概率為

1

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

3

．
（I）求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率；
（II）設該小組比賽中甲的得分為ξ，求Eξ．

Answer 1

分析：（I）已知要求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率，即“甲勝乙、甲勝丙、丙勝乙”同時發生，因為甲勝乙的概率為

1

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

3

，從而求出其概率；
（II）小組比賽中甲的得分為ξ可能值為0、1、2，P（ξ=k），k=0、1、2，再根據期望的公式進行求解；

解答：解：（I）甲獲得小組第一，且丙獲得第二，則甲應勝兩場，丙勝一場，
即“甲勝乙、甲勝丙、丙勝乙”同時發生，
∵甲勝乙的概率為

1

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

3

，
∴甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率為

1

3

×

1

4

×（1-

1

3

）=

1

18

，
（II）ξ的可能值為0、1、2，
P（ξ=0）=（1-

1

3

）（1-

1

4

）=

1

2

；
P（ξ=1）=

1

3

×

3

4

+

2

3

×

1

4

=

5

12

，
P（ξ=2）=

1

3

×

1

4

=

1

12

，
∴Eξ=0×

1

2

+1×

5

12

+2×

1

12

=

7

12

．

點評：此題主要考查離散隨機變量的期望公式，這也是高考的熱點問題，此題是一道基礎題；