Question

（2007•淄博三模）設橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，F(0，c)(c＞0)為橢圓的焦點，它到直線y=

a2

c

的距離及橢圓的離心率均為

2

2

，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且

AP

=λ

PB

（I）求橢圓方程；
（Ⅱ）若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知及其a²=b²+c²即可得出；
（II）利用向量相等及其根與系數的關系即可得出m的取值范圍．

解答：解：（ I）由條件知

a2 c -c= 2 2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得b=c=

2

2

，a=1．
故橢圓C的方程為y²+2x²=1．
（ II）由

AP

=λ

PB

得

OP

-

OA

=λ(

OB

-

OP

)，化為(1+λ)

OP

=

OA

+λ

OB

．
∴1+λ=4，解得λ=3．
設直線l 與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0．
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0．（*）
∴x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

．
∵

AP

=3

PB

，∴-x₁=3x₂，
∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

，
消去x₂，得3(x1+x2)2+4x1x2=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0．
整理得：4k²m²+2m²-k²-2=0，
m2=

1

4

時，上式不成立；
m2≠

1

4

時，k2=

2-2m2

4m2-1

．
由（*）式得k²＞2m²-2
∴

2-2m2

4m2-1

＞2m2-2
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
即所求m的取值范圍為(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓的相交問題轉化為方程聯立、判別式與方程的根的關系、根與系數的關系、向量相等等是解題的關鍵．