Question

(22)已知f(x)=4x+ax²－x³(x∈R)在區(qū)間［－1,1］上是增函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)a的值組成的集合A;

(Ⅱ)設關于x的方程f(x)=2x+x³的兩個非零實根為x₁、x₂.試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(22)本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用和不等式等有關知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.

解：(Ⅰ)f′(x)=4+2ax－2x²,∵f(x)在［－1,1］上是增函數(shù),

∴f′(x)≥0對x∈［－1,1］恒成立.

即x²－ax－2≤0對x∈［－1,1］恒成立.                  ①

設(x)=x²－ax－2,

方法一：

①－1≤a≤1,

∵對x∈［－1,1］,只有當a=1時,f′(－1)=0以及當a=－1時,f′(1)=0,

∴A={a|－1≤a≤1}.

方法二：

①或

0≤a≤1或－1≤a<0

－1≤a≤1.

∵對x∈［－1,1］,只有當a=1時,f′(－1)=0以及當a=－1時,f′(1)=0,

∴A={a|－1≤a≤1}.

(Ⅱ)由4x+ax²－x³=2x+x³,得x=0或x²－ax－2=0,

∵Δ=a²+8>0,

∴x₁,x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根,

∴從而|x₁－x₂|==.

又∵－1≤a≤1,∴|x₁－x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈［－1,1］恒成立.

即m²+tm－2≥0,對任意t∈［－1,1］恒成立.           ②

設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2),

方法一：

②

m≥2或m≤－2

所以,存在實數(shù)m,使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,其取值范圍是{m|m≥2或m≤－2}.

方法二：

當m=0時,②顯然不成立;

當m≠0時,

②或

m≥2或m≤－2.

所以,存在實數(shù)m,使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,其取值范圍是{m|m≥2或m≤－2}.