Question

已知函數f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，則當x=________時，f（x）取得最小值．

Answer 1

分析：本題中的函數是一個絕對值函數，可以利用絕對值不等式的性質|x-a|+|x-b|≥|a-b|求最值，為達到消去變量的目的，可將函數變形為f（x）═|x-1|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+…+|x-|，共有5050個絕對值相加，利用性質配對求最值即可．
解答：f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|
=|x-1|+2|x-|+3|x-|+…+100|x-|
=|x-1|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+…+|x-|
共有（1+100）×100×=5050項
又|x-a|+|x-b|≥|a-b|
（注：|x-a|為x到a的距離…
|x-a|+|x-b|即為x到a的距離加上x到b的距離，
當x在a，b之間時，|x-a|+|x-b|最小且值為a到b的距離）
所以f（x）的5050項 前后對應每兩項相加，使用公式|x-a|+|x-b|≥|a-b|
f（x）≥（1-）+（-）+…+…當x在每一對a，b之間時，等號成立
由于70×（1+70）×=2485
71×（71+1）×=2556
所以f（x）最中間的兩項（第2525，2526項）是|x-|
所以f（x）≥（1-）+（-）+…+（-）
當x=時等號成立
則當x=時f（x）取得最小值
點評：本題考查函數求最值的應用，由于本題是一個項數很多的絕對值函數求最值，所可以借助的工具只有絕對值的性質，消去變量，判斷出最小值，為此將函數解析式變形為可以利用絕對值的性質是求解本題的關鍵，本題考查了判斷推理能力，綜合運用知識變形的能力，本題解題的難點有二，一是利用絕對值不等式的性質進行變形，一是根據變形后的形式判斷出最值取到的位置，本題處理數據較難，需要較高的數學素養