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如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓的離心率為,過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦.當直線斜率為0時,

(1)求橢圓的方程;

(2)求的取值范圍.

 

(1),(2)

【解析】

試題分析:(1)求橢圓標準方程,只需兩個獨立條件. 一個是,另一個是點在橢圓上即,所以.所以橢圓的方程為.(2)研究直線與橢圓位置關系,關鍵確定參數,一般取直線的斜率,① 當兩條弦中一條斜率為0時,另一條弦的斜率不存在,由題意知,② 當兩弦斜率均存在且不為0時,設直線的方程為,將直線的方程代入橢圓方程中,并整理得,所以.同理,.所以,利用不等式或函數單調性可得的取值范圍是綜合①與②可知,的取值范圍是

【解】(1)由題意知,

所以. 2分

因為點在橢圓上,即

所以

所以橢圓的方程為. 6分

(2)① 當兩條弦中一條斜率為0時,另一條弦的斜率不存在,

由題意知; 7分

② 當兩弦斜率均存在且不為0時,設

且設直線的方程為

則直線的方程為

將直線的方程代入橢圓方程中,并整理得

所以

所以. 10分

同理,

所以, 12分

,則

因為,所以

所以

所以

綜合①與②可知,的取值范圍是. 16分

考點:橢圓的方程及橢圓與直線的位置關系.

 

練習冊系列答案
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