Question

已知tanα，

1

tanα

是關于x的方程x2-

5

k

x+k2-3=0的兩個實根，且3π＜α＜

7

2

π，cosα+sinα=

-

3 5

5

．

Answer 1

分析：由根與系數關系可得tanα•

1

tanα

=k²-3=1，解之可得k值，由α所在象限可得tanα＞0，進而可得tanα+

1

tanα

=

5

k

=

5

2

，化簡可得tanα的方程，解之結合同角三角函數的基本關系可解得
cosα和sinα的值，進而可得答案．

解答：解：由題意可得tanα•

1

tanα

=k²-3=1，解得k=±2，
而3π＜α＜

7

2

π可推得2π+π＜α＜2π+

3

2

π，
故α為第三象限角∴tanα＞0，
∴tanα+

1

tanα

＞0，∴tanα+

1

tanα

=

5

k

=

5

2

，
化簡可得2tan²α-5tanα+2=0，解得tanα=2，或tanα=

1

2

，
當tanα=2時，由

tanα= sinα cosα =2 sin2α+cos2α=1

可解得sinα=-

2 5

5

，cosα=-

5

5

，
當tanα=

1

2

時，由

tanα= sinα cosα = 1 2 sin2α+cos2α=1

可解得sinα=-

5

5

，cosα=-

2 5

5

，
故可得cosα+sinα=-

3 5

5

，
故答案為：-

3 5

5

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，以及一元二次方程根與系數的關系，屬基礎題．