Question

已知遞增等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中項，
（Ⅰ） 求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=anlog

1

2

an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞62成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意，得

a1q+a1q2+a1q3=28 a1q+a1q3=2(a1q2+2)

，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）bn=anlog

1

2

an=2n•log

1

2

2n=-n•2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ），所以數列{b_n}的前項和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞62成立的正整數n的最小值．

解答：解：（I）由題意，得

a1q+a1q2+a1q3=28 a1q+a1q3=2(a1q2+2)

，…（2分）
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

…（4分）
由于{a_n}是遞增數列，所以a₁=2，q=2
即數列{a_n}的通項公式為a_n=2•2^n-1=2ⁿ…（6分）
（Ⅱ）bn=anlog

1

2

an=2n•log

1

2

2n=-n•2n…（8分）
S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
則2S_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
即數列{b_n}的前項和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹…（10分）
則S_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2＞62，所以n＞5，
即n的最小值為6．…（12分）

點評：本題考查數列的性質的應用，解題時要認真審題，注意數列與不等式的綜合運用，合理地進行等價轉化．