Question

已知前n項和為S_n的等差數列{a_n}的公差不為零，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若函數f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

3

處取得最小值為S₇，求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₄，a₅，a₈成等比數列，設數列{a_n}的公差為d，則(a2+3d)2=(a2+2d)(a2+6d)，求出d．然后求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n，利用S₇=-7，推出A=7．又函數f（x）在x=

π

3

處取得最小值，求出φ=

π

2

．推出函數f（x）的解析式，求出函數f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（Ⅰ）因為a₄，a₅，a₈成等比數列，所以a52=a4a8．
設數列{a_n}的公差為d，則(a2+3d)2=(a2+2d)(a2+6d)．（3分）
將a₂=3代入上式化簡整理得d²+2d=0．又因為公差不為零，所以d=-2．
于是a_n=a₂+（n-2）d=-2n+7，即數列{a_n}的通項公式為a_n=-2n+7．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn=

n(a1+an)

2

=

n(5+7-2n)

2

=6n-n2，于是S₇=-7，
所以函數f（x）的最小值為-7，由A＞0，于是A=7．               （2分）
又因為函數f（x）在x=

π

3

處取得最小值，則sin(3×

π

3

+φ)=-1，因為0＜φ＜π，所以φ=

π

2

．
故函數f（x）的解析式為f(x)=7sin(3x+

π

2

)=7cos3x．              （2分）
于是由2kπ-π≤3x≤2kπ，k∈Z，得

2kπ

3

-

π

3

≤x≤

2kπ

3

，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區間為[

2kπ

3

-

π

3

，

2kπ

3

](k∈Z)．（2分）

點評：本題考查正弦函數的單調性，等差數列的通項公式，等比數列的性質，考查計算能力．