Question

已知b，c∈R，若關于的不等式0≤

x

2

+bx+c≤4的解集為[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，（x₂＜x₃），則（x₂+x₄）-（x₁+x₃）的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先畫出函數f（x）=x²+bx+c的圖象，數形結合可知x₂、x₃為方程 x²+bx+c=0的兩個根，x₁、x₄為方程 x²+bx+c=4的兩個根，利用求根公式將所求表示為關于

b2-4c

的函數，最后利用換元法求取值范圍即可．

解答：解：依題意：x₂、x₃為方程x²+bx+c=0的兩個根，
x₁、x₄為方程x²+bx+c-4=0的兩個根．
設y=（x₂+x₄）-（x₁+x₃）=（x₄-x₃）+（x₂-x₁）=2（x₂-x₁）
=2（

-b- b2-4c

2

-

-b- b2-4(c-4)

2

）
=2

b2-4c+16 - b2-4c

2

．
令

b2-4c

=t，則t＞0，
則y=

t2+16

-t，（y＞0）
∴（y+t）²=t²+16，
即2yt+y²=16，
t=

16-y2

2y

＞0，解得4＞y＞0（或y＜-4，不合題意，舍去），
故答案為：（0，4）

點評：本題主要考查了函數、方程不等式間的內在聯系及其相互應用，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，換元法、求函數值域的方法，難度較大．