Question

【題目】已知函數f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．
（1）設a=2，函數f（x）的定義域為[3，63]，求函數f（x）的最值．
（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，函數f（x）=log2（x+1）為[3，63]上的增函數，

故f（x）max=f（63）=log2（63+1）=6，f（x）min=f（3）=log2（3+1）=2

（2）解：f（x）﹣g（x）＞0，即loga（1+x）＞loga（1﹣x），

①當a＞1時，由1+x＞1﹣x＞0，得0＜x＜1，故此時x的范圍是（0，1）．

②當0＜a＜1時，由0＜1+x＜1﹣x，得﹣1＜x＜0，故此時x的范圍是（﹣1，0）

【解析】（1）當a=2時，根據函數f（x）=log2（x+1）為[3，63]上的增函數，求得函數的最值．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即loga（1+x）＞loga（1﹣x），分①當a＞1和②當0＜a＜1兩種情況，分別利用函數的單調性解對數不等式求得x的范圍．