Question

某商場預計2012年從1月起前x個月顧客對某種世博商品的需求總量P（x）件與月份x的近似關系是：p（x）= x（x+1）（41﹣2x）（x≤12且x∈N+）
（1）寫出第x月的需求量f（x）的表達式；
（2）若第x月的銷售量g（x）= （單位：件），每件利潤q（x）元與月份x的近似關系為：q（x）= ，求該商場銷售該商品，預計第幾月的月利潤達到最大值？月利潤最大值是多少？（e⁶≈403）

Answer 1

解：（1）當x=1時，f（1）=P（1）=39；
當x≥2時，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）
= x（x+1）（41﹣2x）﹣ （x﹣1）x（43﹣2x）
=3x（14﹣x）；
∴f（x）=﹣3x²+42x（x≤12且x∈N+）
（2）h（x）=q（x）g（x）= 且x∈N+，
h′（x）= 且x∈N+；
∵當1≤x≤6時，h′（x）≥0，
∴h（x）在x∈[1，6]上單調遞增， ∴當1≤x＜7且x∈N+時，h（x）max=h（6）=3000；
∵當7≤x≤8時，h′（x）≥0，當8≤x≤12時，h′（x）≤0，
∴當7≤x≤12且x∈N+時， ；
綜上，預計第6個月的月利潤達到最大，最大月利潤為3000元．