Question

某商場預計2012年從1月起前x個月顧客對某種世博商品的需求總量P（x）件與月份x的近似關系是：p（x）=

1

2

x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N⁺）
（1）寫出第x月的需求量f（x）的表達式；
（2）若第x月的銷售量g（x）=

f(x)-2x，1≤x＜7且x∈R+ x2 gx ( 1 3 x2-10x+96)，7≤x≤12且x∈N+

（單位：件），每件利潤q（x）元與月份x的近似關系為：q（x）=

1000ex-6

x

，求該商場銷售該商品，預計第幾月的月利潤達到最大值？月利潤最大值是多少？（e⁶≈403）

Answer 1

分析：（1）當x=1時，f（1）=P（1）=39，當x≥2時，f（x）=P（x）-P（x-1），從而可求出第x月的需求量f（x）的表達式；
（2）根據月利潤達=銷售量×每件利潤建立函數關系，然后利用導數研究函數的單調性，從而求出函數的最值．

解答：解：（1）當x=1時，f（1）=P（1）=39；
當x≥2時，f（x）=P（x）-P（x-1）
=

1

2

x（x+1）（41-2x）-

1

2

（x-1）x（43-2x）
=3x（14-x）；
∴f（x）=-3x²+42x（x≤12且x∈N⁺）
（2）h（x）=q（x）g（x）=

3000ex-6(7-x)        ，1≤x＜7 1000 e6 ( 1 3 x3-10x2+96x)  ，7≤x≤12

且x∈N⁺，
h′（x）=

3000ex-6(6-x)        ，1≤x＜7 1000 e6 (x-8)(x-12)  ，7≤x≤12

且x∈N⁺；
∵當1≤x≤6時，h′（x）≥0，∴h（x）在x∈[1，6]上單調遞增，
∴當1≤x＜7且x∈N⁺時，h（x）_max=h（6）=3000；
∵當7≤x≤8時，h′（x）≥0，當8≤x≤12時，h′（x）≤0，
∴當7≤x≤12且x∈N⁺時，h(x)max=h(8)=

1000×896

3e6

＜3000；
綜上，預計第6個月的月利潤達到最大，最大月利潤為3000元．

點評：本題主要考查了函數最值的應用，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了計算能力，屬于中檔題．