Question

已知{x_n}是公差為d的等差數列，

.

x

n表示{x_n}的前n項的平均數．
（1）證明數列{

.

x

n}是等差數列，指出公差．
（2）設{x_n}的前n項和為S_n，{

.

x

n}的前n項和為T_n，{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n項和為U_n．若d≠0，求

lim

n→∞

Un．

Answer 1

分析：（1）由{x_n}的前n項的和除以n計算出前n項和的平均數，進而判斷數列{

.

x

n}是等差數列．
（2）求出x_n}的前n項和為S_n，{

.

x

n}的前n項和為T_n，再做差裂項求出，{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n項和為U_n，最后求極限得解．

解答：解：（1）∵

.

x

n=

x1+x2++xn

n

=

Sn

n

=

nx1+ n(n-1) 2 d

n

=x1+(n-1)•

d

2

，
∴{

.

x

n}是以x₁為首項，以

d

2

為公差的等差數列．
（2）∵S_n=nx1+

n(n-1)

2

d，T_n=nx1+

n(n-1)

2

•

d

2

，
∴Sn-Tn=

n(n-1)

4

•d，∴

1

Sn+1-Tn+1

=

4

d

•

1

n(n-1)

=

4

d

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Un=

4

d

•[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

4

d

•(1-

1

n+1

)，
∴

lim

n→∞

Un=

lim

n→∞

4

d

(1-

1

n+1

)=

4

d

．

點評：（1）主要考查等差數列前n項和的性質，即{

Sn

n

}仍為等差數列，要作為結論記住，考試常用．
（2）主要考查數列求和方法裂項相消法及數列極限的求法：裂項相消法是高考中的熱點．