Question

已知函數f(x)=

3x

x+3

，數列{x_n}滿足x₁=1，x_n+1=f（x_n），n∈N^*
（1）求數列{x_n}的通項公式．
（2）記a_n=x_nx_n+1，S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*，求證：S_n＜3．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）的式子給出x_n+1的表達式，然后變形得出表達式

1

xn+1

-

1

xn

=

1

3

，再用等差數列的定義得出數列{

1

xn

}是以公差為

1

3

的等差數列，最后由等差數列的通項公式給出{x_n}的表達式；
（2）先求出a_n，用拆項求和的方法進行求和式，根據變量n的范圍進行放縮，最后從所得范圍中證得結論．

解答：解：（1）由題意，xn+1=

3xn

xn+3

 (n∈N*)
由xn+1=

3xn

xn+3

 (n∈N*)得

1

xn+1

=

xn+3

3xn

=

1

3

+

1

xn

∴

1

xn+1

-

1

xn

=

1

3

 (n∈N*)（4分）
于是數列{

1

xn

}是以公差為

1

3

的等差數列，且首項為1，
故

1

xn

=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，
所以xn=

3

n+2

 (n∈N*)．            （8分）
證明：（2）an=xnxn+1=

3

n+2

•

3

n+3

=9(

1

n+2

-

1

n+3

)，n∈N*（11分）
∴Sn=a1+a2+…+an=9(

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+2

-

1

n+3

)
=9(

1

3

-

1

n+3

)＜3（15分）

點評：本題綜合了函數、數列、不等式三個常見考點，屬于難題．第一小問構造一個等差數列，抓住函數的表達式是解題的關鍵；第二小問求證不等式，注意運用拆項求和的方法進行解答．