Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=25，，直線l：mx-y+1-4m=0
（1）求證：對m∈R，直線l與⊙C總有兩個不同的交點A，B．
（2）求弦長AB的取值范圍．
（3）求弦長為整數的弦共有幾條．

Answer 1

分析：（1）利用直線系方程，求出直線經過的定點，判斷定點與圓的位置關系，即可說明直線l與⊙C總有兩個不同的交點A，B．
（2）求出弦長AB的最小值與最大值，即可得到弦長的取值范圍．
（3）結合（2）求弦長為整數的弦共有幾條．

解答：解：（1）由mx-y+1-4m=0可得：（x-4）m-y+1=0
令

x-4=0 -y+1=0

，∴

x=4 y=1

，
∴直線l過定點M（4，1）…（2分）
又4²+（1-1）²=16＜25，M（4，1）在⊙C內 …（4分）
∴直線l與⊙C交于兩點…（5分）
（2）當直線l過圓心C時，AB取最大值，此時m=0…（7分）
當直線l⊥MC時，取最小值，MC=4，
∴AB=2

25-16

=6，
綜上弦長的范圍：6≤AB≤10…（10分）
（3）由（2）知：6≤AB≤10，故弦長為整數6時，直線有1條，而AB=10時有1條，
其它弦長，7，8，9的值有各有2條
故弦長為整數的弦共有8條．…（14分）．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查直線系方程的應用，考查分析問題解決問題的能力．