Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=25，直線l：mx-y+1-4m=0，
（1）求證：對m∈R，直線l與⊙C總有兩個不同的交點A，B；
（2）求弦長AB的取值范圍；
（3）求弦長為整數的弦共有幾條。

Answer 1

解：（1）由mx-y+1-4m=0可得：（x-4）m-y+1=0，
令，
∴，
∴直線l過定點M（4，1），
又，
∴M（4，1）在⊙C內，
∴直線l與⊙C交于兩點；
（2）當直線l過圓心C時，AB取最大值10，此時m=0；
當直線l⊥MC時，AB取最小值，MC=4，
∴，而此時m不存在；
綜上有：6＜AB≤10；
（3）由（2）知：6＜AB≤10，
故弦長為整數的值有各2有條，
而AB=10時有1條，
故弦長為整數的弦共有7條。