Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點A、B；
（2）求弦AB中點M軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線？
（3）若定點P（1，1）分弦AB為

PB

=2

AP

，求l方程．

Answer 1

分析：（1）利用圓心到直線的距離小于半徑，判定，直線l與圓C總有兩個不同交點A、B；
（2）設出弦AB中點M，求出直線L，利用弦的中點與圓心連線與割線垂直，求出軌跡方程．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立方程利用韋達定理，以及定點P（1，1）分弦AB為

PB

=2

AP

，求出A 的坐標，代入圓的方程，求出m，即可求l方程．

解答：解：（1）圓心C（0，1），半徑r=

5

，則圓心到直線L的距離d=

|-m|

1+m2

＜1，
∴d＜r，∴對m∈R直線L與圓C總頭兩個不同的交點；（或用直線恒過一個定點，且這個定點在圓內）（4分）
（2）設中點M（x，y），因為L：m（x-1）-（y-1）=0恒過定點P（1，1）
斜率存在時則kAB=

y-1

x-1

，又kMC=

y-1

x

，k_AB•K_NC=-1，
∴

y-1

x-1

•

y-1

x

=-1，整理得；x²+y²-x-2y+1=0，
即：(x-

1

2

)2+(y-1 )2=

1

4

，表示圓心坐標是（

1

2

，1），半徑是

1

2

的圓；
斜率不存在時，也滿足題意，
所以：(x-

1

2

)2+(y-1 )2=

1

4

，表示圓心坐標是（

1

2

，1），半徑是

1

2

的圓．（4分）
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）解方程組

mx-y+1-m=0 (y-1)2+x2=5

得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴x1+x2=

2m2

1+m2

，①
又

PB

=2

AP

∴（x₂-1，y₂-1）=2（1-x₁，1-y₁），
即：2x₁+x₂=3②
聯立①②解得x1=

3+m2

1+m2

，則y1=

(m+1)2

1+m2

，即A（

3+m3

1+m2

，

(m+1)2

1+m2

）
將A點的坐標代入圓的方程得：m=±1，
∴直線方程為x-y=0和x+y-2=0

點評：本題考查點到直線的距離公式，直線的一般式方程，軌跡方程，直線和圓的方程的應用，考查轉化思想，考查分析問題解決問題的能力，計算能力，是中檔題．