Question

如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上辟一個內接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，設AE=x，綠地面積為y．
（1）寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域．
（2）當AE為何值時，綠地面積最大？

Answer 1

分析：（1）先求得四邊形ABCD，△AHE的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關于x的函數關系式；
（2）由（1）知y是關于x的二次函數，用二次函數求最值的方法求解．

解答：解：（1）S_△AEH=S_△CFG=

1

2

x²，（1分）
S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x．（5分）
由

x＞0 a-x＞0 2-x≥0 a＞2

，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2（7分）
（2）當

a+2

4

＜2，即a＜6時，則x=

a+2

4

時，y取最大值

(a+2)2

8

．（9分）
當

a+2

4

≥2，即a≥6時，y=-2x²+（a+2）x，在（0，2]上是增函數，
則x=2時，y取最大值2a-4（11分）
綜上所述：當a＜6時，AE=

a+2

4

時，綠地面積取最大值

(a+2)2

8

；
當a≥6時，AE=2時，綠地面積取最大值2a-4（12分）

點評：本題主要考查實際問題中的建模和解模能力，注意二次函數求最值的方法．