Question

【題目】某公司生產一批A產品需要原材料500噸，每噸原材料可創(chuàng)造利潤12萬元．該公司通過設備升級，生產這批A產品所需原材料減少了x噸，且每噸原材料創(chuàng)造的利潤提高0.5x%；若將少用的x噸原材料全部用于生產公司新開發(fā)的B產品，每噸原材料創(chuàng)造的利潤為12（a﹣ x）萬元（a＞0）．
（1）若設備升級后生產這批A產品的利潤不低于原來生產該批A產品的利潤，求x的取值范圍．
（2）若生產這批B產品的利潤始終不高于設備升級后生產這批A產品的利潤，求a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，

∴x2﹣300x≤0，

∵x＞0，

∴0＜x≤300；

（2）解：生產B產品創(chuàng)造利潤12（a﹣ x）x萬元，設備升級后生產這批A產品的利潤12（500﹣x）（1+0.5x%），

∴12（a﹣ x）x≤12（500﹣x）（1+0.5x%），

∴a≤ + + ．

∵ + ≥2 =4，當且僅當 = ，即x=250時等號成立，

∴0＜a≤5.5，

∴a的最大值是5.5

【解析】（1）由題意，12（500﹣x）（1+0.5x%）≥12×500，即可求x的取值范圍．（2）利用生產這批B產品的利潤始終不高于設備升級后生產這批A產品的利潤，建立不等式，即可求a的最大值．
【考點精析】掌握基本不等式在最值問題中的應用和函數(shù)的零點是解答本題的根本，需要知道用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點．