Question

【題目】若實數x、y、m滿足|x﹣m|＜|y﹣m|，則稱x比y接近m．
（1）若2x比1接近3，求x的取值范圍；
（2）已知函數f（x）定義域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），對于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x與x中接近0的那個值，寫出函數f（x）的解析式，若關于x的方程f（x）﹣a=0有兩個不同的實數根，求出a的取值范圍；
（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求證： 比 接近0．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為2x比1接近3，所以|2x﹣3|＜|1﹣3|，

即|2x﹣3|＜2，解得 ＜x＜ ，

所以，x的取值范圍為：（ ， ）

（2）解：分類討論如下：

①當x2﹣2x比x接近于0時，|x2﹣2x|＜|x|，

解得，x∈（1，3），

②當x比x2﹣2x接近于0時，|x2﹣2x|＞|x|，

解得，x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），

所以，f（x）= ，

畫出f（x）的圖象，如下圖，

因為方程f（x）=a有兩個實根，根據函數圖象得，

a∈（﹣1，0）∪（0，1）

（3）解：對兩式 ， 平方作差得，

△=（ ）2﹣（ ）2

= = ，

因為a，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，

所以， ＞| |，

即 比 接近0．

【解析】（1）直接根據定義，問題等價為|2x﹣3|＜|1﹣3|，解出即可；（2）先求出函數f（x）的解析式并畫出函數圖象，再運用數形結合的方法，求a的取值范圍；（3）直接運用作差法比較兩式的大小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．