Question

【題目】如圖，已知橢圓，點是拋物線的焦點，過點F作直線交拋物線于M，N兩點，延長，分別交橢圓于A，B兩點，記，的面積分別是，.

（1）求的值及拋物線的準線方程；

（2）求的最小值及此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1），準線方程為；（2）的最小值是2，此時直線的方程是．

【解析】

（1）由焦點坐標得可得拋物線方程，準線方程；

（2）顯然直線的斜率存在，設直線方程為，，直線方程與拋物線方程聯立消元應用韋達定理得，不妨設在第二象限，在第一象限，由在第四象限，在第三象限，設，，由坐標求出，

然后計算得，代入化簡得，從而易得最小值及直線方程．

（1）由已知，，所以拋物線方程為，準線方程為．

（2）顯然直線的斜率存在，設直線方程為，，

由得，所以，，

如圖．不妨設在第二象限，在第一象限，由在第四象限，在第三象限，設，，

直線方程為，由得，，由，所以，，同理，

，

所以時，取得最小值2．此時直線方程為．