Question

設a₁=2，a₂=4，數列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2，
（1）求證：數列{b_n+2}是等比數列（要指出首項與公比）
（2）求數列{a_n}的通項公式．
（3）求數列{na_n+2n²}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）直接利用已知條件推出

bn+1+2

bn+2

=2，即可數列{b_n+2}是等比數列，求出首項與公比．
（2）利用（1）求出通項公式，然后求數列{a_n}的通項公式．
（3）直接利用錯位相減法以及拆項法，求解數列{na_n+2n²}的前n項和．

解答： 解：（1）b_n+1=2b_n+2⇒b_n+1+2=2（b_n+2），…．（2分）
∵

bn+1+2

bn+2

=2，又b₁+2=a₂-a₁=4，…．（4分）
∴數列{b_n+2}是首項為4，公比為2的等比數列．…．（5分）
（2）由（1）得bn+2=4•2n-1⇒bn=2n+1-2．…．（7分）
∵b_n-1=a_n-a_n-1∴an-an-1=2n-2．…．（8分）
令n=1，2，…，（n-1），疊加得an-2=(22+23+…+2n)-2(n-1)，…．（9分）
∴an=(2+22+23+…+2n)-2n+2
=

2(2n-1)

2-1

-2n+2=2n+1-2n．…．（10分）
（3）令cn=nan+2n2，則cn=n•2n+1，…．（11分）
令前n項和為S_n，∴Sn=1×22+2×23+3×24+4×25+…+n•2n+1，2Sn=1×23+2×24+3×25+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2
∴Sn-2Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2…．（12分）
∴-Sn=4(2n-1)-n•2n+2…．（13分）
∴Sn=(n-1)2n+2+4…．（14分）

點評：本題考查數列求和的方法錯位相減法，等比數列的判斷，基本知識的考查．