Question

已知函數f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
（1）若函數f（x）為奇函數，求實數a的值；
（2）判斷并證明函數的單調性；
（3）在（1）、（2）的條件下，若對任意的t∈R，不等式f（t²+2）≥f（k+2t）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）函數f（x）為R上的奇函數，則f（0）=0，即可求得a；
（2）函數f（x）在R上遞增．運用單調性的定義證明，注意作差和變形、定符號和下結論；
（3）運用單調性，不等式f（t²+2）≥f（k+2t）對任意的t∈R恒成立，即為t²+2≥k+2t對任意的t∈R恒成立，即k≤t²-2t+2=（t-1）²+1，求出右邊的最小值即可．

解答： 解：（1）函數f（x）為R上的奇函數，則f（0）=0，
即有a-

2

20+1

=0，解得，a=1；
（2）函數f（x）在R上遞增．
理由如下：設m＜n，則f（m）-f（n）=1-

2

2m+1

-（1-

2

2n+1

）
=

2(2m-2n)

(1+2m)(1+2n)

，
由于m＜n，則2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，2^m＞0，2ⁿ＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即有函數f（x）在R上遞增；
（3）由于函數f（x）在R上遞增，
則不等式f（t²+2）≥f（k+2t）對任意的t∈R恒成立，
即為t²+2≥k+2t對任意的t∈R恒成立，
即k≤t²-2t+2=（t-1）²+1，
當t=1時，右邊去最小值1．
故k≤1．
故實數k的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷和運用，考查函數的單調性的證明和運用：解不等式，注意不等式恒成立問題轉化為求最值問題，屬于中檔題．