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已知三棱錐S—ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a、b、c,設(shè)O為S在底面ABC上的射影.求證:

(1)O為△ABC的垂心;

(2)O在△ABC內(nèi);

(3)設(shè)SO=h,則++=.

證明:(1)∵SA⊥SB,SA⊥SC,

    ∴SA⊥平面SBC,BC平面SBC.

    ∴SA⊥BC.

    而AD是SA在平面ABC上的射影,

    ∴AD⊥BC.

    同理,可證AB⊥CF,AC⊥BE,故O為△ABC的垂心.

     (2)證明△ABC為銳角三角形即可.不妨設(shè)a≥b≥c,則底面三角形ABC中,

    AB=為最大,從而∠ACB為最大角.

    用余弦定理求得

    cos∠ACB=>0,

    ∴∠ACB為銳角,△ABC為銳角三角形.

    故O在△ABC內(nèi).

     (3)SB·SC=BC·SD,

    故SD=,=+,

    又SA·SD=AD·SO,

    ∴===+=++=.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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r
,則球的體積與三棱錐體積之比是(  )
A、πB、2πC、3πD、4π

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2
6

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3

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2
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,則球O的表面積為

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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