Question

 設(shè)數(shù)列、滿足，且，．  

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；      

（Ⅱ）對一切，證明成立；  

（Ⅲ）記數(shù)列、的前項和分別是、，證明：.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）由，得，            …………………1分

即數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴     ……………3分

（Ⅱ）∵,  

∴要證明，只需證明， 

即證，即證明成立.  ……………………5分

構(gòu)造函數(shù)，                   ……………………6分

則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，

故.  ∴，即對一切都成立，

∴.                                   ……………8分  

（Ⅲ）∵，由（Ⅱ）可知，，

∴        ………………10分

利用錯位相減求得：，∴. ………12分