Question

如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，
給出下列結論：
①BC⊥面PAC；
②AF⊥面PCB；
③EF⊥PB；
④AE⊥面PBC．　
其中正確命題個數是________個．

Answer 1

3
分析：根據線面垂直的判定，可證出BC⊥平面PAC，從而AF⊥BC，結合已知條件得AF⊥面PCB．最后可證明PB⊥平面AEF，從而得到EF⊥PB，故正確的命題為①②③．
解答：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC
∴PA⊥BC
∵AB為⊙O的直徑，∴AC⊥BC
∵PA、AC是平面PAC內相交直線
∴BC⊥平面PAC…①，
結合AF?平面PAC，得AF⊥BC
∵AF⊥PC，且PC、BC是平面PBC內的相交直線
∴AF⊥面PCB…②，
∵PB?平面PCB，∴AF⊥PB，
∵AE⊥PB，AE、AF是平面AEF內的相交直線
∴PB⊥平面AEF
結合EF?平面AEF，得EF⊥PB…③．
由以上的證明可知：①②③正確，而④是錯誤的
故答案為3
點評：本題給出一個特殊的三棱錐，要求我們找出其中的線面垂直和線線垂直，著重考查了空間線面垂直的判定與性質的知識，屬于基礎題．