Question

如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，E、F分別是點A在PB、PC上的射影，給出下列結論：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AE⊥BC，④平面AEF⊥平面PBC，⑤△AFE是直角三角形，其中正確的命題的序號是

 

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Answer 1

分析：分別根據線面垂直和面面垂直的判定定理和性質定理分別進行證明．

解答：解：∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥⊙O所在平面，
∴PA⊥⊙O所在平面內的所有直線，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，
∵F是點A在PC上的射影，
∴AF⊥PC，
∵AF∩PC=F，
∴PC⊥面PAC，∴AF⊥BC，
又AF⊥PC，
∴AF⊥面PBC，∴AF⊥PB，∴①正確；
∵AF⊥PB，AF⊥PC，
∴AF⊥面PBC，
∴AF⊥EF，即△AFE是直角三角形，∴⑤正確．
∵AF⊥PB，AE⊥PB，AF∩AE=A，
∴PB⊥面AEF，∴EF⊥PB，∴②正確．
∵AF⊥面PBC，
∴若AE⊥BC，
則AE⊥面PBC，
此時E，F重合，與已知矛盾．∴③錯誤；
∵AF⊥面PBC，
AF?面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC，
∴④正確．
故答案是：①②④⑤

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面垂直的性質，考查化歸與轉化的數學思想方法．