Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，點(diǎn)E是PD上的點(diǎn)，且（0＜λ≤1）．
（Ⅰ） 求證：PB⊥AC；
（Ⅱ） 求λ的值，使PB∥平面ACE；
（Ⅲ）當(dāng)λ=1時(shí)，求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意由于PA⊥平面ABCD．利用線面垂直的定義可以得到PA⊥AC，又由于AC⊥AB，利用線面垂直的判定定理可以得到AC⊥平面PAB，進(jìn)而利用線面垂直的定義即可得證；
（II）由題意連接BD交AC于O，連接OE，因?yàn)镻B∥平面ACE，利用線面平行的性質(zhì)定理可以得到PB∥OE，在由于O為BD的中點(diǎn)，所以可得E為PD的中點(diǎn)，進(jìn)而求得λ=1；
（III）由題意取AD的中點(diǎn)F，連接EF，利用中位線性質(zhì)可以得到EF∥PA，又由于PA⊥平面ABCD，利用兩平行線一個(gè)與平面垂直則另一條也與該平面垂直可得到EF⊥平面ABCD．連接OF，則OF∥AB，利用三垂線定理即可得到∠EOF就是二面角E-AC-D的平面角，然后計(jì)算出即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：由于PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC∵AC⊥AB，∴AC⊥平面PAB，∴PB⊥AC，
（Ⅱ）連接BD交AC于O，連接OE，∵PB∥平面ACE，平面ACE∩平面PBD=OE∴PB∥OE，
又∵O為BD的中點(diǎn)∴E為PD的中點(diǎn)，
故λ=1．
（Ⅲ）取AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥PA，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．連接OF，則OF∥AB∵BA⊥AC，
∴OF⊥AC，連接OE，則OE⊥AC，∴∠EOF就是二面角E-AC-D的平面角，
又∵，∴EF=OF，且EF⊥OF∴∠EOF=45°．
∴二面角E-AC-B大小為135°．
點(diǎn)評：此題考查了線面垂直的性質(zhì)定理還考查了線面垂直的判定定理，及線面平行的性質(zhì)定理與利用三垂線定理求解二面角的平面角及二面角的大小．