Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中實數a≥0．

（1）若a=0，求函數f（x）在x∈[1，3]上的最值；

（2）若a＞0，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】（1）函數f（x）在區間[1，3]上的最大值是1，最小值為2﹣2ln2；（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)對函數求導，利用導函數與原函數的關系得到最大值是1，最小值為2﹣2ln2；

(2)分類討論可得 ：當a＞2時，f（x）的單調增區間為（0，2），（a，+∞），單調減區間為（2，a）；

當a=2時，f（x）的單調增區間為（0，+∞）；

當0＜a＜2時，f（x）的單調增區間為（0，a），（2，+∞），單調減區間為（a，2）．

試題解析：

解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x

1

（1，2）

2

（2，3）

3

f'（x）

﹣

0

+

f（x）

1

↘

2﹣2ln2

↗

3﹣2ln3

從上表可知，∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），

函數f（x）在區間[1，3]上的最大值是1，最小值為2﹣2ln2；

f′(x)=1+ - ==，

①當a＞2時，x∈（0，2）∪（a，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（2，a）時，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調增區間為（0，2），（a，+∞），單調減區間為（2，a）；

②當a=2時，∵f′(x)= >0(x≠2)，∴f（x）的單調增區間為（0，+∞）；

③當0＜a＜2時，x∈（0，a）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（a，2）時，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調增區間為（0，a），（2，+∞），單調減區間為（a，2）；

綜上，當a＞2時，f（x）的單調增區間為（0，2），（a，+∞），單調減區間為（2，a）；

當a=2時，f（x）的單調增區間為（0，+∞）；

當0＜a＜2時，f（x）的單調增區間為（0，a），（2，+∞），單調減區間為（a，2）．