Question

過點（1，0）的直線與中心在原點，焦點在x軸上且率心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB中點，同時橢圓C上存在一瞇與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式，再利用對稱點所連線段被對稱軸垂直平分來列式求解．
解答：解：由e==，得=，從而a²=2b²，c=b
設橢圓方程為x²+2y²=2b²，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上
則x₁²+2y₁²=2b²，x₂²+2y₂²=2b²，兩式相減得，（x₁²-x₂²）+2（y₁²-y₂²）=0，=-
設AB中點為（x，y），則k_AB=-，又（x，y）在直線y=x上，y=x，于是-=-1，k_AB=-1，則l的方程為y=-x+1．
右焦點（b，0）關于l的對稱點設為（x′，y′），則解得
由點（1，1-b）在橢圓上，得1+2（1-b）²=2b²，b²=，a²=
∴所求橢圓C的方程為，
l的方程為y=-x+1．
點評：本題利用對稱問題來考查用待定系數法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強 待定系數法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題，成為解決本題的關鍵．注意在設直線方程時要對直線斜率是否存在進行討論．