Question

（2010•泰安一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點與拋物線y2=4

3

x的焦點F重合，且橢圓短軸的兩個端點與F構成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點坐標，可得c，再求出b的值，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數量積公式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意知拋物線的焦點F(

3

，0)，∴c=

3

…（1分）
又∵橢圓的短軸的兩個端點與F構成正三角形，∴b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1…（3分）
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為：y=k（x-1）
代入橢圓方程，消去y，可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

4k2+1

 ，x1x2=

4k2-4

4k2+1

…（5分）
∵

PE

=(m-x1，-y1)，

QE

= (m-x2，-y2)
∴

PE

•

QE

=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=m2-m

8k2

4k2+1

+

4k2-4

4k2+1

+k2(

4k2-4

4k2+1

-

8k2

4k2+1

+1)=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

4k2+1

…（7分）
=

(4m2-8m+1)(k2+ 1 4 )+(m2-4)- 1 4 (4m2-8m+1)

4k2+1

=

1

4

(4m2-8m+1)+

2m- 17 4

4k2+1

…（9分）
當2m-

17

4

=0，即m=

17

8

時，

PE

•

QE

為定值

33

64

…（10分）
當直線l的斜率不存在時，P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)
由E(

17

8

，0)可得

PE

=(

9

8

，-

3

2

) ，

QE

=(

9

8

，

3

2

)，∴

PE

•

QE

=

81

64

-

3

4

=

33

64

綜上所述，當E(

17

8

，0)時，

PE

•

QE

為定值

33

64

…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．