Question

已知拋物線M：y²=4x，圓N：（x-1）²+y²=r²（其中r為常數，r＞0）．過點（1，0）的直線l交圓N于C、D兩點，交拋物線M于A、B兩點，且滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的必要條件是（　　）

• A、r∈（0，1]
• B、r∈（1，2]
• C、r∈(

  3

  2

  ，4)
• D、r∈[

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：本題中應用采用設出直線，將直線與圓，與拋物線聯立起來，利用同一直線上的線段的長度比與兩線段端點的縱坐標差的比成比例建立方程，再由根系關系將此方程轉化為關于參數m的不等式，解出滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的充要條件，再依據必要條件的定義比對四個選項找出必要條件

解答：解：x=1與拋物線交于（1，土2），與圓交于（1，土r），滿足題設．
設直線l：x=my+1，（1）
代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
△=16（m²+1），
把（1）代入（x-1）²+y²=r²得y²=

r2

1+m2

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
|AC|=|BD|
即y₁-y₃=y₂-y₄，
即y₁-y₂=y₃-y₄，
即4

m2+1

=

2r

m2+1

即r=2（m²+1）＞2，
即r＞2時，l僅有三條．
考查四個選項，只有D中的區間包含了（2，+∞）
即r∈[

3

2

，+∞)是直線l只有三條的必要條件
故選D．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，解題的關鍵是根據題設條件解出滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的充要條件，再由必要條件的定義比對四個選項找出它的必要條件來．