Question

設K為凸四邊形ABCD內一點，求證：＝0的充要條件是K為兩組對邊中點連線的交點。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：選擇坐標系使各點坐標依次為A（0，0）、B（4x1，0）、C（4x2，4y2）、D（4x3、4y3），則各邊AB、BC、CD、DA的中點坐標依次為： E（2x1，0）、F（2x1＋2x2，2y2）、G（2x2＋2x3，2y2＋2y3）、H（2x3，2y3） 由三角形中位線性質可知四邊形EFGH恰為平行四邊形，而兩組對邊中點連線的交點即為平行四邊形EFGH的中心．                                                                                                                若K為兩組對邊中點連線交點，易知其坐標為 K（x1＋x2＋x3，y2＋y3），各向量依次為： =（－x1－x2－x3，－y2－y3） =（3x1－x2－x3，－y2－y3） =（3x2－ x1－x3，3y2－y3） =（3x3－x1－ x2，3y3－y2） ∴ ＋＋＋=0                                                                  若四邊形內一點K（x，y）使＋＋＋=0 即4 ( x1＋x2＋x3 )－4x= 4 ( y2＋y3 )－4y = 0 可知點K坐標為K（x1＋x2＋x3，y2＋y3），即K為兩組對邊中點連線的交點。