Question

△ABC的內角為A，B，C，所對的三邊分別是a，b，c．若 a，b，c的倒數成等差數列，
（Ⅰ）求證B＜

π

2

（Ⅱ）若A，B，C也成等差數列，求證△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析：（I）假設B≥

π

2

則b為最大邊，有b＞a＞0，b＞c＞0，可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

與已知矛盾．
（II）先確定B的度數，再利用a，b，c的倒數成等差數列，及正弦定理，即可證得結論．

解答：解：（I）假設B≥

π

2

則有b＞a＞0，b＞c＞0
則

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

與已知矛盾，
假設不成立，原命題正確．
（II）∵三內角A、B、C的度數成等差數列
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°
設A=60-t，C=60+t．
則

2

b

=

1

a

+

1

c

⇒bc+ba=2ac
⇒sin60°sinC+sin60°sinA=2sinAsinC
⇒sin60°[sin（60°+t）+sin（60°-t）]=2sin（60°+t）sin（60°-t）
⇒

3

2

cost=2cos²t-

1

2

解得，cost=1，或cost=-

1

4

∵t＜

π

2

，
∴cost=1，t=0°
故A=B=C=60°即△ABC為等邊三角形．

點評：本題考查正弦定理，考查等差數列與等比數列的綜合，解題的關鍵是確定角與邊的關系．（I）問使用反證法，比較簡單．