Question

【題目】已知不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3的解集為{x|a＜x＜b}；

（1）求a，b的值；

（2）若正實數x，y滿足x+y＝ab+2且不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0對任意的x，y恒成立，求實數c的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣1，b＝1；（2）﹣9≤c≤1．

【解析】

（1）分類討論，即可求得絕對值不等式的解集，比照數據即可求得；

（2）根據（1）中所求，利用均值不等式即可求得范圍.

（1）當x≥1時，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化為（x﹣1）+（2x+1）＜3，

解得x＜1，此時無解；

當x＜1時，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化為﹣（x﹣1）+（2x+1）＜3，

解得x＜1，此時x＜1；

當時，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化為﹣（x﹣1）﹣（2x+1）＜3，

解得x＞﹣1，此時；

故解集為{x|﹣1＜x＜1}，

∴a＝﹣1，b＝1；

（2）由（1）有，x+y＝1，

不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0可化為xy（c2+8c）≤4x+y，

即，

又，

當且僅當y＝2x時取等號，

∴c2+8c≤9，

解得﹣9≤c≤1．