Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經過點$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，其離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與C相交于A，B兩點，∠AOB（O為坐標原點）為鈍角，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0求得m的范圍，再由根與系數的關系結合$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BO}＜0$進一步求得m的范圍得答案．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=16m²-12（2m²-2）＞0，得m²＜3．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，①
∵∠AOB為鈍角，∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BO}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}＜0$，
即$2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}＜0$，②
把①代入②得：$2×\frac{2{m}^{2}-2}{3}-\frac{4}{3}m×m+{m}^{2}＜0$，
解得：$-\frac{2\sqrt{3}}{3}＜m＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵A、B、O三點不共線，∴m≠0．
∴實數m的取值范圍為（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，0$）∪（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查橢圓標準方程的求法，訓練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．