Question

求棱長為a的正四面體外接球的表面積和體積．

Answer 1

分析：由正四面體的棱長為a，所以此四面體一定可以放在棱長為

2

2

a的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入面積公式、體積公式計算．

解答：解：∵正四面體的棱長為a，
∴此四面體一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此四面體．
如圖所示，四面體ABCD滿足題意，BC=a，
∴正方體的棱長為

2

2

a，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑=正方體的對角線長，
∴外接球的半徑為R=

1

2

×

1 2 + 1 2 + 1 2

=

6

4

，
所以球的表面積S=4πR2=

3

2

πa2
球的體積為V=

4

3

πR3=

6

8

πa3，

點評：本題考查幾何體的接體問題，考查了空間想象能力，其解答的關鍵是根據幾何體的結構特征，求出接體幾何元素的數據，代入面積、體積公式分別求解．