Question

【題目】如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

（1）求證：點(diǎn)為邊的中點(diǎn)；

（2）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形，可得且，根據(jù)三垂線定理可知，而底面為邊長(zhǎng)為的正三角形，則即可證得點(diǎn)為邊的中點(diǎn)；

（2）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)線面垂直的判定定理可知平面，平面，則即為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)等面積法可求出的長(zhǎng)．

（1）證：為以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

且，

三棱柱，底面，

在底面內(nèi)射影為，，

底面為邊長(zhǎng)為的正三角形，

點(diǎn)為邊的中點(diǎn)；

（2）解：由（1）知平面，則平面平面．

在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于，

且平面平面，

∴平面，

∴即為到平面的距離，

在正三角形內(nèi)，∵，

∴，則，

在中，，

則，

∴，

∴到平面的距離為．