Question

設F₁、F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直線PF₁的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，進而求出離心率．

解答： 解：依題意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一個等腰三角形，
F₂在直線PF₁的投影是其中點，
由勾股定理可知|PF₁|=2

(2c)2-(2a)2

=4b，
根據雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得

b

a

=

4

3

，
∴e=

c

a

═

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點評：本題主要考查三角與雙曲線的相關知識點，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．