Question

已知函數 (為實常數) 

 （1）當時，求函數在上的最大值及相應的值；

（2）當時，討論方程根的個數

（3）若，且對任意的，都有，求實數a的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）當時；（2）當時，方程有2個相異的根；當 或時，方程有1個根；當時，方程有0個根；（3） 

【解析】

試題分析：(1) 利用導數求解極值點，然后確定單調性，分析最值；(2)把方程的根轉化為函數圖像的交點，利用導數研究單調性，進而求最值，然后分析交點的情形即根的情形；（3）通過對函數單調性的分析，可得導數在區間上大于零恒成立問題，然后轉化為最值求解

試題解析：（1），

當時， 當時，，

又，

故，當時，取等號         4分

（2）易知，故，

方程根的個數等價于時，方程根的個數。

設=，

當時，，函數遞減，

當時，，函數遞增。

又，，作出與直線的圖像，由圖像知：

當時，即時，方程有2個相異的根；

當 或時，方程有1個根；

當時，方程有0個根；                10分

（3）當時，在時是增函數，又函數是減函數，不妨設，則等價于

即，故原題等價于函數在時是減函數，

恒成立，即在時恒成立。

在時是減函數               16分

（其他解法酌情給分）

考點：導數，函數的單調性，函數的最值