Question

（2006•嘉定區二模）在四面體ABCD中，BD、CD、AD兩兩互相垂直，且BD=CD=4，E是BC中點，異面直線AB與DE所成角的大小是arccos

2

5

，求四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析：建立如圖所示坐標系，得A、B、C、D各點的坐標，利用向量數量積的公式結合AD、BE所成角為arccos

2

5

，解出BD的長度，最后運用錐體的體積公式即可算出四面體ABCD的體積．

解答：解：取AC中點F，連結EF、DF，則EF∥AB，
∴∠DEF（或其補角）是異面直線AB與DE所成的角…（2分）
設AD=h，在△DEF中，DE=2

2

，EF=DF=

1

2

h2+16

，…（4分）
則∠DEF=∠EDF，于是∠DEF為銳角，cos∠DEF=

2

5

，…（6分）
cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2

2•DE•EF

=

8

2•2 2 • 1 2 h2+16

=

2 2

h2+16

=

2

5

解得h=2

21

…（10分）
∴V=

1

3

Sh=

1

3

•

1

2

•4•4•2

21

=

16 21

3

…（12分）

點評：本題給出特殊三棱錐，在已知異面直線所成角的基礎之上求錐體的體積．著重考查了利用空間坐標系的方法研究異面直線所成角和錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．