Question

如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.

(1)證明直線BC∥EF;
(2)求棱錐FOBED的體積.

Answer 1

（1）見解析  （2）

(1)證明:如圖所示,設G是線段DA延長線與線段EB延長線的交點.由于△OAB與△ODE都是正三角形,且OD=2,

所以OBDE,
OG=OD=2.
同理,設G′是線段DA延長線與線段FC延長線的交點,有OCDF,OG′=OD=2.
又由于G和G′都在線段DA的延長線上,
所以G與G′重合.
在△GED和△GFD中,
由OBDE和OCDF,
可知B、C分別是GE和GF的中點,
所以BC是△GEF的中位線,故BC∥EF.
(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,
知S_△OBE=,
而△OED是邊長為2的正三角形,
故S_△OED=.
所以S_{四邊形OBED}=S_△OBE+S_△OED=.
過點F作FQ⊥AD,交AD于點Q,
由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱錐FOBED的高,且FQ=,
所以=FQ·S_{四邊形OBED}=.