Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應的的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) ; (2)定值是4,詳見解析;
(3)存在, 的坐標為,的面積為.

解析試題分析：(1)根據橢圓的焦點、離心率和的關系求出橢圓標準方程中的;(2)先設，求出直線的方程，并求出它們與軸的交點的坐標，建立三點坐標的關系，然后利用在橢圓上，從而把中的消去得到定值; (3)先假設存在點，則有直線與圓相交，進而寫出的面積函數，發現利用基本不等式可以求出函數的最大值，故假設存在,再求出取得最大值時點的坐標.
試題解析：解：（1）由題意：，解得：             3分
所以橢圓                                4分
(2) 由（1）可知,設,              
直線:,令,得;              5分
直線:,令,得;              6分
則,                          7分
而,所以,
所以             8分
(3)假設存在點滿足題意，則，即
設圓心到直線的距離為，則，且    9分
所以             10分
所以       11分
因為，所以，所以
所以  12分
當且僅當，即時，取得最大值
由，解得       13分
所以存在點滿足題意，點的坐標為

此時的面積為                   14分
考點：1、橢圓的標準方程，、2解析法，3、直線與圓相交問題.