Question

如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面邊長和側棱長都是2，D為側棱CC₁的中點．
（1）求異面直線A₁D與BC所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（2）求直線A₁B₁到平面DAB的距離．

Answer 1

（1）方法一：
以A₁B₁中點O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系．
由題意得A1(1，0，0)，D(0，1，

3

)，B(-1，2，0)，C(0，2，

3

)
則

A1D

=(-1，1，

3

)，

BC

=(1，0，

3

)
設θ為向量

A1D

與

BC

的夾角，cosθ=

-1+3

(-1)2+12+( 3 )2 • 12+( 3 )2

=

5

5

，
∴異面直線A₁D與BC所成角的大小為arccos

5

5

．
方法二：取B₁B中點E，連結A₁E，DE．∵DE∥CB
∴∠A₁DE為異面直線A₁D與BC所成的角．
在Rt△A₁B₁E中，A1E=

5

；在Rt△A₁C₁D中，A1D=

5

；
cos∠A1DE=

DE 2

A1D

=

5

5

．
∴異面直線A₁D與BC所成角的大小為arccos

5

5

．
（2）∵AB∥A₁B₁，∴A₁B₁∥平面ABD，
∴A₁B₁到平面DAB的距離即為A₁到平面DAB的距離，設為h．
由題意得A1D=AD=BD=

5

，AB=2，
等腰△ADB底邊AB上的高為

5-1

=2，S△ABD=

1

2

•2•2=2，則S△AA1B=2，
且D到平面ABB₁A₁的距離為

3

，
由VA1-ABD=VD-A1AB得

1

3

×S_△ABD•h=

1

3

×S△A1AB×

3

，
∴h=

3

，
∴直線A₁B₁到平面DAB的距離為

3

．