Question

如圖，已知△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

3

2

．
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求V（x）的表達式；
（3）當V（x）取得最大值時，求證：AD=CE．

Answer 1

分析：（1）由已知，可以證明BC⊥平面ADC，又DE∥BC得出DE⊥平面ADC，根據兩個平面垂直的判定定理即可證出平面ACD⊥平面ADE；
 （2）注意到V_A-CBE=V_E-ACB，BE為高，根據勾股定理用x表示出BC，代入錐體體積公式可得V（x）的表達式
（3）在（2）的基礎上，利用函數求值域、最值的方法求出x的值后，再去證明AD=CE．

解答：解：


（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形∴CD∥BE，BC∥DE---------（1分）
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC∴DC⊥BC．----------（2分）
∵AB是圓O的直徑∴BC⊥AC且DC∩AC=C
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC---------------------------------------（3分）
又∵DE?平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE----------------（4分）
（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE∴BE⊥平面ABC
∵AB?平面ABC∴BE⊥AB，--------------------------------------------------------（5分）
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=

BE

AB

=

3

2

，AB=2得BE=

3

------------（6分）
在Rt△ABC中∵BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

------------------------------------（7分）
∴V(x)=VC-ABE=VE-ABC=

1

3

S△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

（0＜x＜2）-------（8分）
（3）由（2）知要V（x）取得最大值，當且僅當x

4-x2

=

x2(4-x2)

取得最大值，
∵0＜x＜2
∴x2(4-x2)≤(

x2+4-x2

2

)2=4------------（10分）
∴當且僅當x²=4-x²，即..時，“=”成立，
即當V（x）取得最大值時AC=

2

，這時△ACB為等腰直角三角形
連接DB，∵AC=BC，DC=DC
∴Rt△DCA≌Rt△DCB------------------（12分）
∴AD=BD  又四邊形BCDE為矩形
∴BD=CE
∴AD=CE------------------------------------------------------------（14分）

點評：本題考查面面垂直的判定，錐體體積公式，基本不等式法求函數最值，考查空間想象能力、轉化（垂直、平行及兩者之間的轉化）、論證、計算能力．