Question

如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD繞CD旋轉(zhuǎn)至
A′CD，使點A'與點B之間的距離A′B=

3

．
（1）求證：BA′⊥平面A′CD；
（2）求二面角A′-CD-B的大小；
（3）求異面直線A′C與BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證BA^′⊥面A^′CD． 只需證明A^′D⊥A^′B，CD⊥A^′B，由題意可證，故可得結(jié)論；
（2）利用A^′D⊥CD，且BD⊥CD，可知∠A′DB是所求二面角的平面角，從而可求．
（3）利用平行線，可得∠CA′E為所求角，利用余弦定理可求；

解答：（本小題滿分12分）
解（1）∵CD⊥AB，∴CD⊥A′D，CD⊥DB，∴CD⊥平面A′BD，
∴CD⊥BA′．又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=

3

，∴∠BA′D=90°，
即BA′⊥A′D，∴BA′⊥平面A′CD．-------------------------（4分）
（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，∴∠BDA′是二面角
A′-CD-B的平面角．又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，
∴∠A′DB=60°，即  二面角A′-CD-B為60°．---------（8分）
（3）過A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，
連CE，則∠CA′E為A′C與BD所成角．
∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE．
∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，又A′D=1，∠DEA′=90°，∴A′E=

1

2

又∵在Rt△ACB中，AC=

AD•AB

=

3

∴A′C=AC=

3

∴cos∠CA′E=

A′E

A′C

=

1 2

3

=

3

6

，即A′C與BD所成角的余弦值為

3

6

．---------（12分）

點評：本題以三棱錐為載體，考查線面垂直，考查線線角，線面角，關(guān)鍵是作出相應(yīng)的角．