Question

關于x的不等式組

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整數解的集合為A．
（1）當k=3時，求集合A；
（2）若集合A={-2}，求實數k的取值范圍；
（3）若集合A中有2013個元素，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）當k=3時，由于第二個不等式的解為-3＜x＜-

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2

，故滿足條件的整數x不存在，故A=∅．
（2）由x²-x-2＞0可得x＜-1或x＞2．
∵不等式組

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整數解為x=2，
又∵方程2x²+（2k+5）x+5k=0的兩根為-k和-

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2

．
①若-k＜-

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，則不等式組的整數解集合就不可能為{-2}；
②若-

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2

＜-k，則應有-2＜-k≤3．∴-3≤k＜2．
綜上，所求k的取值范圍為[-3，2）．
（3）當-k＜-

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時，A={-3，-4，…，-2015}，所以-2016≤-k＜-2015，得2015＜k≤2016．
當-k＞-

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時，A={-2，3，…，2014}，所以2014≤-k≤2015，得-2015≤k＜-2014．
所以實數k的取值范圍為（2015，2016]，或[-2015，-2014）．