Question

（2012•安徽模擬）若函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax-1的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂且0＜x₁＜x₂，則x12+x22的取值范圍是（　　）

A．（2，+∞）

B．（-∞，4）

C．（1，5）

D．（2，4）

Answer 1

分析：由已知，x₁，x₂且是方程f^′（x）=0的兩不等正實(shí)數(shù)根，求出a的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系將x₁²+x₂²變形為兩根之積或兩根之和的形式，化為關(guān)于a的表達(dá)式求解．

解答：解：f^′（x）=3x²-6x+a，
函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax-1的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂且0＜x₁＜x₂，
即是說x₁，x₂且是方程f^′（x）=0的兩不等正實(shí)數(shù)根，
∴

△=(-6)2-4×3×a=36-12a＞0 x1+  x2=2＞ 0 x1•x2= a 3 ＞0

解得0＜a＜3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4-

2a

3

．

2a

3

∈(0，2)，4-

2a

3

∈（2，4）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，根與系數(shù)的關(guān)系．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．