Question

在周長為16的三角形ABC中，AB=6，A，B所對的邊分別為a，b，則abcosC的取值范圍是

[7，16）

．

Answer 1

分析：由題意可得三角形ABC中，b=10-a，再由任意兩邊之和大于第三邊可得 2＜a＜8，由余弦定理可得2ab•cosC=a²+b²-36=（a-5）²+7，再利用二次函數的性質求得abcosC的取值范圍．

解答：解：由題意可得三角形ABC中，a+b=16-6=10，∴b=10-a．再由任意兩邊之和大于第三邊可得 2＜a＜8．
由余弦定理可得 36=a²+b²-2ab•cosC，
∴2ab•cosC=a²+b²-36=a²-10a+32=（a-5）²+7，
∴7≤a＜9+7=16，
故abcosC的取值范圍是[7，16），
故答案為[7，16）．

點評：本題主要考查余弦定理的應用，二次函數的性質的應用，屬于中檔題．