Question

已知兩定點M（-2，0），N（2，0），若直線上存在點P，使得|PM|-|PN|=2，則該直線為“給力直線”，給出下列直線，其中是“給力直線”的是

①③

（將正確的序號標上）
①y=x+1　　　②y=-

3

x-3　　　③x=-2　　④y=-2x+3．

Answer 1

分析：根據雙曲線的定義，可求得點P的軌跡方程，從而可利用雙曲線的性質結合新定義“給力直線”即可獲得答案．

解答：解：∵兩定點M（-2，0），N（2，0），直線上存在點P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴點P的軌跡是雙曲線，其中2a=2，2c=4，
∴點P的軌跡方程方程為：x²-

y2

3

=1（x≥1），
∴其漸近線方程為：y=±

3

x，
∵①y=x+1經過（0，1）且斜率k=1＜

3

，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）有交點，
∴該直線是“給力直線”；
對于②，∵y=-

3

x+2經過（0，2）且斜率k=-

3

，顯然該直線與其漸近線方程y=-

3

x平行，該直線與雙曲線無交點，
∴該直線不是“給力直線”，即②不符合；
對于③，∵y=-2經過（0，-2）且斜率k=0，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）有交點，故③符合；
同理可得，④y=-2x+3的斜率k=-2＜-

3

，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）無交點，
綜上所述，①③符合．
故答案為：①③．

點評：本題考查雙曲線的概念與性質，考查其漸近線方程的應用，突出轉化思想與分析應用能力的考查，屬于中檔題．